Quesito 6 P.N.I. 2012

Si dimostri che la curva di equazione $y=x^3+  ax+ b$ ha uno ed un solo punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

I punti di flesso sono i punti in cui la derivata seconda si annulla:

$f(x)=x^3+ax+b$

$f'(x)=3x^2+a$

$f''(x)=6x$ .

Quindi:

$f''(x)=0 \iff x=0$ ,

$f(0)=b$ .

Quindi $f$ ha un solo punto di flesso in $x=0$ .

Affinchè $(x_0;y_0)$ sia centro di simmetria per $f$ deve accadere che:

$y_0=\frac {f(x_0+h)+f(x_0-h)}{2} \quad \forall h$ .

Nel nostro caso $(x_0;y_0)=(0;b)$ , e quindi:

$b=\frac {(h^3+ah+b)+(-h^3-ah+b)}{2}=\frac {2b}{2}=b$ .

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