Una funzione è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in  e nella figura sono disegnati i grafici e di e della sua derivata seconda . La tangente a nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette e sono asintoti orizzontali per e ,  rispettivamente.

 

1. Si dimostri che la funzione , ovvero la derivata prima di f (x) , ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni del dominio è: , qual è un possibile andamento di ?
2. Si supponga che costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?
3. Se è il grafico della funzione , si provi che e .
4. Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da e dall’asse  sull’intervallo [0, 2].

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