Problema 1.4 P.N.I. 2013

Una funzione $f (x)$ è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in $[0, + \infty [$ e nella figura sono disegnati i grafici $\Gamma$ e $\Lambda$ di $f (x)$ e della sua derivata seconda $f ''(x)$ . La tangente a $\Gamma$ nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette $y = 8$ e $y = 0$ sono asintoti orizzontali per $\Gamma$ e $\Lambda$ , rispettivamente.

Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da $\Lambda$ e dall’asse $x$ sull’intervallo [0, 2].

Per calcolare l’area dobbiamo semplicemente fare il seguente integrale:

$\int_0^2 f''(x) dx.$

Per la definizione di integrale vale la seguente relazione:

$\f''(x)dx=f'(x) \Rightarrow \int_0^2 f''(x) dx=f'(2)-f'(0).$

Quindi, in questo caso, per calcolare l’area della regione non dobbiamo realmente integrare, ma, visto che conosciamo solamente l’equazione di $f(x)$ , dobbiamo derivare $\Gamma$ per giungere a $f'(x)$ .

Riscrivendo $f(x)$ in termini di potenza ad esponente negativo e sfruttando la regola di derivazione delle funzioni composte, si avrà:

$f(x)=8\left (1+e^{2-x}\right )^{-1} \quad \Rightarrow \quad $f'(x)=8 \left{-\left[\frac {-e^{2-x}}{\left(1+e^{2-x}\right)^2}\right]\right} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\frac {8e^{2-x}}{\left(1+e^{2-x}\right)^2}.$