Problema 1.1 P.N.I. 2014

Sia $g(x)$ una funzione continua sull’intervallo chiuso $[-4;6]$ . Il grafico di $g(x)$ , disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2),D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell’arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell’arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l’asse x .

Si dica, giustificando la risposta, se $g(x)$ è derivabile nei punti A, O, B, C, D.

Risposta dello staff

In base a semplici calcoli di geometria analitica, notiamo subito che:

$g(x)=\begin{cases} -\sqrt{-x^2-4x} \quad \mbox{ per } \quad -4 \leq x \leq 0 \\ \sqrt{-x^2+4x} \quad \mbox{ per } \quad 0< x \leq 2 \\ 2 \quad \mbox{ per } \quad 2< x \leq 4 \\ \sqrt{12-2x} \quad \mbox{ per } \quad 4 < x \leq 6 \\ \end{cases}$

Calcoliamo le derivate:

$g'(x)=\begin{cases} \frac {x+2}{\sqrt{-x^2-4x}} \quad \mbox{ per } \quad -4 \leq x \leq 0 \\ \frac {2-x}{\sqrt{-x^2+4x}} \quad \mbox{ per } \quad 0< x \leq 2 \\ 0 \quad \mbox{ per } \quad 2< x \leq 4 \\ -\frac {1}{\sqrt{12-2x}} \quad \mbox{ per } \quad 4 < x \leq 6 \\ \end{cases}$