Problema 1.3 Scientifico 2014

Nella figura a lato è disegnato il grafico $\Gamma$ di $g(x)=\int_0^x f(t) \, \, dt$ con $f$ funzione definita sull’intervallo $[0,w]$ e ivi continua e derivabile. $\Gamma$ è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per $x=h$ e $x=k$ .

3) Si determini l’espressione di $g(x)$ nel caso $w=3$ e $g(1)=\frac 23$ e si scrivano le equazioni delle normali a $\Gamma$ nei punti in cui esso è tagliato dalla retta $y=\frac 23$ .

Risposta dello staff

Dall’esercizio 2 e dalla richiesta otteniamo:

$g(1)=a(1-3)=\frac 23$

da cui:

$a=-\frac 13$

e quindi avremo:

$g(x)=-\frac {x^3}{3}+x^2$

Ora, dobbiamo trovare i punti di $\Gamma$ tali per cui:

$-\frac {x^3}{3}+x^2=\frac 23$

$x^3-3x^2+2=0$

Da qui, sapendo che 1 è soluzione data dalla traccia, otteniamo, scomponendolo:

$(x-1)(x^2-2x-2)=0$

da cui, per la legge di annullamento del prodotto, dal secondo termine ricaviamo le altre due soluzioni:

$x_{\frac 12}=\frac {2 \pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac {2 \pm 2\sqrt 3}{2}=1\pm \sqrt 3$

Di queste, la soluzione $x=1-\sqrt3$ va scartata poichè negativa, e, il nostro dominio, impone solo ascisse positive.

Quindi dovremo discutere solo le normali nei due punti

$P_1(1;\frac 23)$

$P_2(1+\sqrt 3;\frac 23)$

Ricordando che, la retta tangente alla curva passante per un punto, avrà coefficiente angolare pari alla derivata calcolata nel punto stesso, allora la retta normale, avrà come coefficiente angolare l’antireciproco della derivata calcolata nel punto!!!

Di conseguenza avremo:

$g'(x)=-x^2+2x$