Problema 1.4 Scientifico 2014

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Nella figura a lato è disegnato il grafico \Gamma di g(x)=\int_0^x f(t) \, \, dt con f funzione definita sull’intervallo [0,w] e ivi continua e derivabile. \Gamma è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k.

graficoproblemascientifico2014

4) Si denoti con R la regione che \Gamma delimita con l’asse x e sia W il solido che essa descrive nella rotazione completa attorno  all’asse y . Si spieghi perchè il volume di W si può ottenere
calcolando:

    \[\int_0^3(2 \pi x)g(x) \, \, dx\]

Supposte fissate in decimetri le unità di misura del sistema  monometrico Oxy, si dia la capacità in litri di W.

Risposta dello staff

Il volume di W sarà dato dalla formula:

    \[vol(W)=2\pi d A(R)\]

dove A(R) rappresenta l’area della regione R della traccia e d la distanza del baricentro dall’asse di rotazione. Ma, visto che l’asse di rotazione è l’asse y, d risulta proprio uguale all’ascissa di B, e quindi:

    \[d=\frac {1}{A(R)} \int_0^3 xg(x) \, dx.\]

Sostituendo nella prima otteniamo:

    \[vol(W)=2\pi \int_0^3 xg(x) \, dx.\]

E quindi otteniamo:

    \[vol(W)=2 \pi \int_0^3 \left(x^3-\frac {x^4}{3}\right) \, dx=2 \pi \left[\frac {x^4}{4}-\frac {x^5}{15}\right]_0^3=\frac{81}{10} \, \pi \, \mbox{ dm}^3\]

e, dato che 1l=1 \, \mbox{ dm}^3, avremo che il volume sarà di 25,447 litri.

 

 

 

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