Quesito 3 Scientifico 2014

Nello sviluppo di $(2a^2-3b^3)^n$ compare il termine $-1080 a^4 b^9$ . Qual è il valore di n ?

La formula di Newton per lo sviluppo di un binomio dice che:

$(x+y)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k$

Sostituendo al binomio di sopra, quello nella traccia otteniamo:

$(2a^2-3b^3)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2a^2)^{n-k}(-3b^3)^k$

Imponendo la presenza del termine richiesto otteniamo:

$\begin{cases} 2(n-k)=4 \\ 3k=9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} n=5 \\ k=3 \end{cases}$

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