Problema 2.3 Scientifico 2013

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Sia f la funzione definita, per tutti gli x reali, da f(x )=\frac {8}{4+x^2}.

 

Si consideri la regione R compresa tra \Phi e l’asse x sull’intervallo [0, 2]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da \Gamma e si provi altresì che la regione compresa tra \Phi e tutto l’asse x è equivalente a quattro volte il cerchio.

 

Calcoliamo prima l’area di R e poi l’area del cerchio e verifichiamo che sono uguali. L’area di R corrisponde all’integrale di f(x) in [0;2]:

    \[\int_0^2 \frac {8}{4+x^2}dx=4\left[ tan^{-1}\left (\frac x2\right )\right]_0^2=4\left[tan^{-1}(1)-tan^{-1}(0)\right]=\pi\]

.

L’area del cerchio delimitato da \Gamma è semplicemente pari a \pi r^2 che, con r=1, è uguale anch’essa a \pi.

Infine, calcoliamo l’integrale \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx=

    \[\lim_{t \to +\infty}\int_{-t}^{t}\frac {8}{4+x^2} dx=\lim_{t \to +\infty}4\left[ tan^{-1}\left (\frac t2\right )tan^{-1}\left (-\frac t2\right )-\right]=8 \cdot \frac {\pi}{2}=4\pi\]

.

Abbiamo così dimostrato che la regione compresa tra \Phi e tutto l’asse x è quattro volte il cerchio.

 

 

 

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