Problema 2.3 Scientifico 2013

Sia $f$ la funzione definita, per tutti gli $x$ reali, da $f(x )=\frac {8}{4+x^2}$ .

Si consideri la regione R compresa tra $\Phi$ e l’asse $x$ sull’intervallo [0, 2]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da $\Gamma$ e si provi altresì che la regione compresa tra $\Phi$ e tutto l’asse $x$ è equivalente a quattro volte il cerchio.

Calcoliamo prima l’area di R e poi l’area del cerchio e verifichiamo che sono uguali. L’area di R corrisponde all’integrale di $f(x)$ in $[0;2]$ :

$\int_0^2 \frac {8}{4+x^2}dx=4\left[ tan^{-1}\left (\frac x2\right )\right]_0^2=4\left[tan^{-1}(1)-tan^{-1}(0)\right]=\pi$

L’area del cerchio delimitato da $\Gamma$ è semplicemente pari a $\pi r^2$ che, con $r=1$ , è uguale anch’essa a $\pi$ .

Infine, calcoliamo l’integrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx=$

$\lim_{t \to +\infty}\int_{-t}^{t}\frac {8}{4+x^2} dx=\lim_{t \to +\infty}4\left[ tan^{-1}\left (\frac t2\right )tan^{-1}\left (-\frac t2\right )-\right]=8 \cdot \frac {\pi}{2}=4\pi$

Abbiamo così dimostrato che la regione compresa tra $\Phi$ e tutto l’asse $x$ è quattro volte il cerchio.

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