Nicolò chiede: Esercizi sugli integrali

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CALCOLARE SE ESISTE IL SEGUENTE INTEGRALE:

integrale da 0 a (pigreco/2) di tang(x) dx

Sapendo già che \tg(frac {\pi}{2})=+\infty potremmo intuire il risultato… Svolgiamo comunque tutti i passaggi:

\int tanx d\mathrm {x}= \int \frac {sen x}{cosx} d\mathrm {x}=-\int \frac {-sen x}{cosx} d\mathrm {x}

Poniamo:

t=cosx

dt= -senx d \mathrm{ x }

Sostituendo tutto sopra, avremo:

-\int \frac {dt}{t}=- ln |t| +C

Ritornando alle condizioni iniziali avremo che:

\int tanx d\mathrm {x}=-ln |cosx| + C

calcolandolo nell’intervallo [0;\frac {\pi}{2}] otteniamo:

-ln |cos (\frac {\pi}{2})| - (-ln |cos(0)|)=-ln(0)+ln(1)=- \infty.

 

DETERMINARE LA PRIMITIVA DELLA SEGUENTE FUNZIONE

f(x)=(x+|x|)(cosx^2)(e^x^2)  TALE CHE F(1)=0

Dividiamo in 2 parti la funzione:

f(x)=0 \mbox { per } x \leq0

f(x)=(2x)(cosx^2)(e^{x^2}) \mbox { per } x >0

Se per la prima parte non ci sarà bisogno di studiare l’integrale, vediamo come ci si comporta nella seconda:

Questo si svolge per parti ricordando la formula:

\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx.

Qui, ponendo

f(x)=cos x^2 \Rightarrow f'(x)=-2xsen x^2 e

g'(x)= 2xe^{x^2} \Rightarrow g(x)=e^{x^2}.

Sostituendo nella formula otterremo:

\int 2xe^{x^2}cosx^2 dx = e^{x^2}cos x^2 - \int -2xsen x^2 e^{x^2} dx=

=.e^{x^2}cos x^2 + \int 2xsen x^2 e^{x^2} dx.

Riapplicando di nuovo la formula dell’integrazione per parti e otteniamo:

f(x)=sen x^2 \Rightarrow f'(x)=2x cos x^2 e

g'(x)= 2xe^{x^2} \Rightarrow g(x)=e^{x^2}.

\int 2xe^{x^2}cosx^2 dx=.e^{x^2}cos x^2 +sen x^2 e^{x^2}- \int 2xcos x^2 e^{x^2} dx.

Applicando le proprietà algebriche otterremo:

2 \int 2xe^{x^2}cosx^2 dx=.e^{x^2}cos x^2 +sen x^2 e^{x^2}, quindi:

\int 2xe^{x^2}cosx^2 dx=.\frac 12(e^{x^2}cos x^2 +sen x^2 e^{x^2}) +C.

Troviamo la costante imponendo che F(1)=0, ed avremo:

F(1)=\frac 12(cos(1)+esen(1))+C=0, da cui:

C=-\frac 12(cos(1)+esen(1)).

 

CALCOLARE IL SEGUENTE INTEGRALE

\int (x-1)^5 \cdot (e^{-x}) dx

Qui bisognerà applicare più volte l’integrazione per parti

f(x)=(x-1)^5 \Rightarrow f'(x)=5(x-1)^4 e

g'(x)= e^{-x} \Rightarrow g(x)=-e^{-x}.

Quindi avremo che:

\int (x-1)^5 \cdot (e^{-x}) dx = -e^{-x}(x-1)^5 - \int -5e^{-x}(x-1)^4 dx=-e^{-x}(x-1)^5 + 5\int e^{-x}(x-1)^4 dx

E andare avanti seguendo sempre lo stesso criterio.

f(x)=(x-1)^4 \Rightarrow f'(x)=4(x-1)^3 e

g'(x)= e^{-x} \Rightarrow g(x)=-e^{-x}.

-e^{-x}(x-1)^5 + 5\int e^{-x}(x-1)^4 dx=-e^{-x}(x-1)^5+5(-e^{-x}(x-1)^4- 4\int -e^{-x}(x-1)^3)

 

Il procedimento continuerà per altre 3 volte…

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