Barbara chiede: esercizi equazioni di secondo grado

Una studentessa scrive:

Corpo del messaggio:
1) Per ogni equazionedi secondo grado nell’ incognita $x$ determina i valori del parametro $k$ tali che sa soddisfatta la condizione scritta a fianco riguardante la somma S delle radici.

A) $5kx^2-2(k-1)x+\frac 15 k=0 \quad \quad \quad \mbox{radici opposte}$

B) $x^2-2(k+1)x+4k=0 \quad \quad \quad S>10$

Risposta dello Staff

A) Innanzitutto calcoliamo il $\Delta$ :

$\Delta=4(k-1)^2-4k^2=4k^2-8k+4-4k^2=-8k+4$

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

$-8k+4 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac 12$

Affinchè le due radici siano opposte, deve succedere che la somma delle radici dia 0, e quindi:

$-\frac ba=0 \Rightarrow \frac {2(k-1)}{5k}=0 \Rightarrow k=1$

Ma questa soluzione non è accettabile in quanto, andando a sostituire avremmo:

$5x^2+\frac 15=0$ ,

e il $\Delta$ sarebbe negativo, e non ammetterebbe soluzioni reali.

B) Innanzitutto calcoliamo il $\Delta$ :

$\Delta=4(k-1)^2-16k=4k^2-8k+4-16k=4k^2-24k+4$

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

$k^2-6k+1 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac {6-\sqrt 4{2}}{2} \quad \lor \quad k \geq \frac {6+4\sqt 2}{2}$

Affinchè le due radici sommate tra di loro diano un numero maggiore di 10, deve verfiicarsi che:

$-\frac ba>10$

$2(k+1)>10$

$2k+2>10$

$2k>8$

$k>4$

Facendo l’intersezione con le possibilità di avere radici reali, la soluzione sarà:

$k \geq \frac {6+4\sqrt 2}{2}$

2) Per ogni equazione parametrica nel’ incognita x determina i valori del parametro affinchè le radici siano reali e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. Ilprodotto delle radici è indicato con P

1) (k-2)x^2-2kx+k-3=0

Innanzitutto calcoliamo la positività del $\Delta$ per studiare gli intervali ove l’equazione può ammettere soluzioni reali:

$\Delta=4k2^-4(k-3)(k-2)=4k^2-4k^2+8k+12k-24=20k-24$