Giorgio scrive: prodotto di quadrati

Uno studente scrive:

Oggetto: prodotto di quadrati

Corpo del messaggio:
Sia d un intero positivo e siano x,y interi non negativi. Sia S l’insieme formato dai numeri $x^2 + dy^2$ .
Come si dimostra che se a e b appartengono a S anche il loro prodotto appartiene a S?

Risposta dello staff

Per ipotesi esisteranno $x_a, x_b, d_a, d_b, y_a, y_b$ interi non negativi tali che

$a=x_a^2+d_ay_a^2$

$b=x_b^"+d_by_b^2$

dal momento che a e b appartengono ad S.

Vogliamo dimostrare che il prodotto di $a*b$ appartiene ancora ad S

$a*b=(x_a^2+d_a*y_a^2)* (x_b^2+d_b*y_b^2) = x_a^2x_b^2 + x_a^2d_by_b^2 + d_ay_a^2x_b^2 + d_ay_a^2d_by_b^2$

Per semplificare la notazione imponiamo

$x_c^2 = x_a^2x_b^2$

$y_c^2=1$

$d_c=x_a^2d_by_b^2 + d_ay_a^2x_b^2 + d_ay_a^2d_by_b^2$

Sostituendo otteniamo che

$a*b=x_c^2 + d_cy_c^2$

con $x_c, d_c, y_c$ interi non negativi

da cui l’asserto

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La matematica spiegata passo passo

Giorgio scrive: prodotto di quadrati

Risposta dello staff

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