Marta scrive: Esercizio Equazioni di grado superiore al secondo

Pubblicato il 7 Maggio 2013 da EdoLascia un commento

Uno studente scrive:

Oggetto: Equazioni di grado superiore al secondo

Corpo del messaggio:
a)Data l’ equazione: $x^3+(k+1)x^2-x-k-1=0$ determina per quali valori di $k$ ha come soluzione $x=2$ . Trova poi le altre 2 soluzioni.

b) Dopo aver verificato che l’ equazione $x^3-6x^2+(a+7)x-2a+2=0$ ammette come soluzione $x=2$ , trova per quali valori di a le altre soluzioni sono reali e distinte.

Risposta dello staff

a) Per trovare per quale valore di $k$ l’equazione ammette come soluzione 2, basta sostituire questo valore all’incognita, ottenendo:

$2^3+(k+1)2^2-2-k-1=0$

$8+4(k+1)-2-k-1=0$

$8+4k+4-2-k-1=0$

$3k+9=0$

$k=-3$

Riscriviamo ora l’equazione iniziale con questo valore di k:

$x^3-2x^2-x+2=0$

$x^2(x-2)-(x-2)=0$

$(x-2)(x^2-1)=0$

Quindi questa equazione, per questo valore di k, ammetterà come soluzioni:

$x=2 \quad \wedge \quad x= \pm 1$ .

b) Per verificare che 2 sia soluzione dell’equazione, basta semplicemente sostituire all’incognita il valore dato:

$2^3-6 \cdot 2^2+2(a+7)-2a+2=0$

$8-24+2a+14-2a+2=0$

$0=0$

Abbiamo appena dimostrato che 2 è soluzione dell’equazione per qualsiasi valore di a.

Ora verifichiamo la seconda parte:

$x^3-6x^2+(a+7)x-2a+2=0$

Utilizziamo Ruffini per scomporre e otteniamo:

	1	-6	a+7	2-2a
2		2	-8	2a-2
	1	-4	a-1	0

da cui

$(x-2)(x^2-4x+a-1)=0$

Per trovare i valori di a per il quale l’equazione ammetta soluzioni reali e distinte, basterà calcolare la positività del $\Delta$ :

$\Delta >0 \Rightarrow 16-4a+4>0$

$4a<20$

$a<5$

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