Fabio scrive: Problemi con similitudini

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Uno studente scrive

Oggetto: Problemi con similitudini

Corpo del messaggio:
1)Dato il triangolo ABC di base AB e lato AC con AC=K, determina su AC un punto D tale che\frac { AD}{DC}=\frac 34 . Traccia dal punto D la parallela DE alla base. Calcola il rapporto fra le aree dei triangoli ABC e CDE.

2)La base AB di un triangolo è lunga 10 cm. Una retta parallela alla base, che interseca i lati AC e BC nei punti D ed E, divide l’ altezza relativa alla base, CK, in due segmenti CH e HK il cui rapporto è \frac 2 3. Determina la lunghezza della corda DE.

 

 

 

Risposta dello staff

triangoloqualsiasi

1)  Sebbene questo problema possa risultare complicato per la mancanza di dati, a noi basterà trovare il rapporto tra 2 lati del triangolo e poi, elevando al quadrato, avremo il  rapporto delle due aree.

Quindi bisognerà trovare il rapporto tra AC e DC.

Sappiamo dai dati che

AD=\frac 34 DC

E quindi

AC=DC+\frac 34 DC

AC=\frac 74 DC

Quindi, se il rapporto tra i lati sarà \frac 74, mentre quello tra le aree sarà

\frac {A_{ABC}}{A_{DCE}}=(\frac 74)^2

\frac {A_{ABC}}{A_{DCE}}=\frac {49}{16}.

 

 

 

triangoloqualsiasi (1)

 

Per definizione avremo che i triangoli CDE e ABC sono simili in quanto aventi un vertice uguale e costruiti con parallele di uno stesso lato.

Dai dati risulta che:

\frac {CH}{HK}=\frac 23, e quindi:

HK=\frac 32 CH

Come abbiamo fatto per il problema precedente, riotteniamo tutto in funzione di un segmento del triangolo piccolo:

CK=CH+HK=CH +\frac 32 CH=\frac 52 CH

Quindi il rapporto tra 2 lati qualsiasi del triangolo è:

\frac {CK}{CH}=\frac 52,

e lo stesso discorso verrà fatto anche per il segmento DE.

Quindi:

AB=\frac 52 DE \Rightarrow DE=\frac 25 AB

DE=\frac 25 \cdot 10 \mbox { cm}=4 \mbox { cm}

 

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