Alessia scrive: Esercizio Disequazioni fratte di secondo grado

Una studentessa chiede

Oggetto: Disequazioni fratte di secondo grado

Corpo del messaggio:
a) $\frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1$

b) $\frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2$

a) $\frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1$

$\frac { x^2-4}{x^2-1} -1 \geq 0$

$\frac { x^2-4-x^2+1}{x^2-1} \geq 0$

$\frac {-3}{x^2-1} \geq 0$

$\frac {3}{x^2-1} \leq 0$

Dato che il numeratore è sempre positivo, studiamo la positività del denominatore:

$x^2-1 >0$

Senza bisogno di grossi calcoli, verifichiamo che il denominatore è positivo per

$x<-1 \quad \lor \quad x>1$

Facendo il grafico otteniamo:

e quindi la disequazione iniziale sarà verificata per:

$-1<x<1$

b) $\frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2$

$\frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2(x-3)}+2<0$

$\frac {12-2x-3+4x-12}{2(x-3)}<0$

$\frac {2x-3}{2(x-3)}<0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

Facendo il grafico otteniamo:

che darà come risultato:

$x<\frac 32$ e $x>3$

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