Maria scrive: Esercizio integrale

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:

$\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x$

Svolgimento

Questo integrale va svolto per parti, ricordando la formula:

$\int f'(x)g(x) \mathrm {d}x = f(x)g(x) - \int f(x) g'(x) \mathrm{d} x$

Poniamo:

$g(x)=x$ così da avere

$g'(x)=1$ .

$f'(x)=sen^2x$

da cui segue l’integrale (non svolgo tutti i calcoli, ma se necessario chiedi pure)

$f(x)=\frac 12 (x-senxcosx)$ .

Avremo quindi:

$\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x=$

$\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 (x-senxcosx) \mathrm{d}x=$

$\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 x\mathrm{d}x +\int \frac 12 senxcosx \mathrm{d}x=$

$\frac x2 (x-senxcosx) -\frac 12 \frac {x^2}{2} +\int \frac 12 \frac 12 sen(2x) \mathrm{d}x=$

$\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14\int sen(2x) \mathrm{d}x=$

$\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14 (-\frac 12 cos(2x))=$

$\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} -\frac 18 cos(2x)=$

$\frac {4x^2-4xsenxcosx-2x^2-cos2x}{8}=$

$\frac {2x^2-4xsenxcosx-cos2x}{8}$ .

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