Andrea scrive: Esercizio dominio di una funzione

Pubblicato il 25 Novembre 201325 Novembre 2013 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Funzioni

Corpo del messaggio:

rispondete con una certa urgenza per favore

Come si vede, $f(x)$ è una funzione irrazionale con radice di indice pari, quindi il dominio sarà formato da tutti i valori della x che rendono positivo il radicando, mentre $g(x)$ è una funzione razionale intera, e quindi sarà verificata $\forall x \in R$ .

Calcoliamo la positività del radicando:

$16-x^2\geq 0$

$x^2\leq 16$

$-4 \leq x \leq 4.$

Avremo quindi:

$A=[-4;4] \quad \quad \quad B=R.$

Ovviamente, intersecando i due, otterremo proprio che $C=A$ .

Per il punto b) dobbiamo notare alcune cose:

la funzione $f(x)$ è sempre positiva, tocca l’asse delle ascisse nei punti $(-4;0)$ e $(4;0)$ , e l’asse delle ordinate in $(0;4)$ .
la funzione $g(x)$ è anch’essa sempre positiva, ma varrà $0$ per $x\leq 0$ e varrà $2x$ per $x>0$ .

Quindi $f(x)$ sarà maggiore di $g(x)$ dal punto $(-4;0)$ fino all’altro punto di intersezione, che avrà come ascissa un valore positivo compreso tra 0 e 4.

Calcoliamolo imponendo l’uguaglianza tra le due funzioni, ricordando che, per x positive, $g(x)=2x$ :

$\sqrt{16-x^2}=2x$

$16-x^2=4x^2$

$5x^2=16$

$x^2=\frac {16}{5}$

$x=\frac {4}{\sqrt 5}=\frac 45 \sqrt 5$

Quindi, avremo che:

$f(x) \geq g(x) \Rightarrow x \in [-4;\frac45 \sqrt 5].$

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