Esercizio 1 Disequazioni

$\left|x+1 \right| < \sqrt [3] {x+1}$

$\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ (x+1)^3 < x+1\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x-1 < 0 \\ (-x-1)^3 < x+1\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ (x+1)^3 - (x+1) < 0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 1 \\ -(x+1)^3 -(x+1)<0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ (x+1)((x+1)^2-1)< 0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 1 \\ (x+1)((x+1)^2+1)>0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ x^2+2x< 0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 1 \\ x^2+2x+2<0 \end{cases}$

Notiamo che nel primo sistema, essendo $x\geq -1$ , il fattore $x+1$ sarà sicuramente positivo; caso contrario nel secondo sistema, così da semplificare i calcoli, ma escludendo nel primo sistema la possibilità $x=-1$ :

$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \neq -1 \\ x(x+2)< 0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 1 \\ x^2+2x+2<0 \end{cases}$

$\begin{cases} x > -1 \\ -2<x<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 1 \\ \Delta<0 \Rightarrow \mbox{ impossibile} \end{cases}$

Quindi avremo soluzione solo per il primo sistema, ovvero:

$-1 <x<0$

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