Leandro scrive: Disequazione

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Oggetto: Equazioni con valori assoluti

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Risposta dello staff

  • \left|4x+2 \right| = \left| -x^2-2 \right|

 

Dato che -x^2-2 è sempre negativo, per qualsiasi x, basterà studiare solo 2 casi:

    \[\begin {cases} 4x+2 \geq 0 \\ 4x+2 = x^2+2 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} 4x+2 < 0 \\ -4x-2 = x^2+2 \end{cases}\]

    \[\begin {cases} x \geq -\frac 12 \\ x^2-4x=0 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} x < -\frac 12 \\ x^2+4x+4=0 \end{cases}\]

    \[\begin {cases} x \geq -\frac 12 \\ x=0 \quad \lor \quad x=4 \end{cases} \quad \quad \begin {cases} x < -\frac 12 \\ x=-2 \end{cases}\]

Nel primo sistema avremo un’equazione spuria, e nel secondo il quadrato di un binomio. Sono tutte e 3 soluzioni accettabili.

 

  •  \left | x^4-3x \right | =-3 \left|x\right|

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che il fattore di sinistra sarà sempre positivo, mentre quello di destra sarà sempre negativo…

Riscriviamo in questo modo:

\left | x \right| \left|x^3-3 \right | +3 \left|x\right|=0

\left | x \right| \left( \left|x^3-3 \right | +3\right)=0

Da qui avremo che il primo fattore può essere uguale a 0 per x=0, mentre il secondo non sarà mai uguale a 0 per nessun valore della x.

  • \frac {2}{\left|x+3\right|}-\frac {3}{\left|x-2\right|} =0

Qui dovremmo  studiare 3 sistemi, ma essendo la differenza uguale a 0, i sistemi per x<-3 e per x>2 coincideranno:

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ \frac {2}{x+3}-\frac {3}{x-2} =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -3 < x<2 \\ \frac {2}{x+3}+\frac {3}{x-2} =0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ 2x-4-3x-9 =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -3 < x<2 \\2x-4+3x+9=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ -x =13 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -3 < x<2 \\5x=-5 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x>2 \\ x =-13 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -3 < x<2 \\x=-1 \end{cases}\]

Soluzioni entrambe accettabili.

 

 

 

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6 pensieri riguardo “Leandro scrive: Disequazione”

  1. In merito al primo esercizio vorrei sapere se è indifferente mettere il segno di uguaglianza nelle disequazioni dei sistemi, cioè scrivere nel primo sistema:

    4x+2>0

    e nel secondo:

    4x+2<=0.

    Distinti saluti.

  2. In merito al primo esercizio, essendo un’equazione del tipo:

    Modulo di f(x) = Modulo di g(x)

    si poteva anche risolvere semplicemente imponendo

    f(x)=g(x) e f(x)= – g(x)

    senza mettere a sistema le condizioni 4x+2>=0 e 4x+2<0.

    Grazie

    1. Si… Ma onde evitare di affrontare equazioni di quarto grado, sarebbe preferibile cercare di tenere il più basso possibile il grado (questo è un mero consiglio, poi ognuno è libero di svolgere l’esercizio in altro modo).
      Quello che proponiamo non è mai l’unica soluzione all’esercizio, ma una spiegazione di un possibile svolgimento.

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