Eleonora scrive: Esercizio

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo! 🙂
Ricercare gli asintoti verticali,orizzontali e obliqui :

$y=\frac {x+3}{x^2+4x+4}$
$y= \frac {4x^3-1}{x^2-4}$

Risposta dello staff

Ricordando che asintoti obliqui e orizzontali non possono verificarsi contemporaneamente, analizziamo i due casi:

$y = \frac {x+3}{x^2 +4x+4}$

Il dominio di questa funzione sarà:

$D= \mathbb{R} -- \{ -2\}$

da cui, l’asintoto verticale risulterà proprio $x=-2$ :

$\lim_{x \to -2}f(x)=\infty$

L’asintoto orizzontale si otterrà risolvendo:

$\lim_{x \to \infty}f(x)=0$

Quindi la funzione ammetterà come asintoto orizzontale: $y=0$ , ovvero l’asse delle ascisse.

$y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}$

Il dominio di questa funzione sarà:

$D= \mathbb{R} -- \{ \pm 2\}$

da cui, risulterà avere due asintoti verticali $x=\pm 2$ :

$\lim_{x \to \pm 2}f(x)=\infty$

Essendo il grado del numeratore superiore a quello del denominatore di sicuro non ci sarà l’asintoto orizzontale. Ma ci può essere quello obliquo, $y=mx+q$ , ottenendo m e q dalle seguenti equazioni:

$m=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1)}{x^3-4x}=4$

$q=\lim_{x \to \pm \infty} f(x)-mx=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1}{x^2-4}-4x=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {16x-1}{x^2-4}$

Si evince che $q=0$ , e quindi la funzione ammetterà come asintoto obliquo: $y=4x$ , ovvero l’asse delle ascisse.

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Eleonora scrive: Esercizio

Risposta dello staff

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