Eleonora scrive: Esercizio

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Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo! 🙂
Ricercare gli asintoti verticali,orizzontali e obliqui :

  •  y=\frac {x+3}{x^2+4x+4}
  • y= \frac {4x^3-1}{x^2-4}

 

 

Risposta dello staff

Ricordando che asintoti obliqui e orizzontali non possono verificarsi contemporaneamente, analizziamo i due casi:

 

    \[y = \frac {x+3}{x^2 +4x+4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarĂ :

    \[D= \mathbb{R} -- \{ -2\}\]

da cui, l’asintoto verticale risulterĂ  proprio x=-2:

    \[\lim_{x \to -2}f(x)=\infty\]

L’asintoto orizzontale si otterrĂ  risolvendo:

    \[\lim_{x \to \infty}f(x)=0\]

Quindi la funzione ammetterĂ  come asintoto orizzontale: y=0, ovvero l’asse delle ascisse.

 

 

    \[y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarĂ :

    \[D= \mathbb{R} -- \{ \pm 2\}\]

da cui, risulterĂ  avere due asintoti verticali x=\pm 2:

    \[\lim_{x \to \pm 2}f(x)=\infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore a quello del denominatore di sicuro non ci sarĂ  l’asintoto orizzontale. Ma ci può essere quello obliquo, y=mx+q, ottenendo m e q dalle seguenti equazioni:

    \[m=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1)}{x^3-4x}=4\]

    \[q=\lim_{x \to \pm \infty} f(x)-mx=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1}{x^2-4}-4x=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {16x-1}{x^2-4}\]

Si evince che q=0, e quindi la funzione ammetterĂ  come asintoto obliquo: y=4x, ovvero l’asse delle ascisse.

 

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