Esercizio 2 Matematica Generale

Utilizzando la definizione di derivata e uno dei limiti notevoli, verificare che

$\left(\frac 13 e^{3x-3}\right)'=e^{3x-3}$

La definizione di derivata ci dice che:

$f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Sfruttando la definizione sostituiamo la funzione in essa:

$f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {\frac 13 e^{3(x_0+h)-3}-\frac 13 e^{3x_0-3}}{h}=$

$= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}e^{3h}- e^{3x_0-3}}{h}=$

$= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}\left(e^{3h}- 1\right)}{h}=$

Ricordando il limite notevole:

$\lim_{t \to 0} \frac {e^{t}- 1}{t}=1$

avremo che:

$= \frac 13 \cdot 3e^{3x_0-3} \frac {\lim_{h \to 0} \left(e^{3h}- 1\right)}{3h}=$

$= e^{3x_0-3}$

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