Lorena scrive: Circonferenza

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Oggetto: la circonferenza

Corpo del messaggio:
Dato il triangolo di vertici a(-4; 3), b(-6;-3),c(0;-5), determina le equazioni delle tangenti alka crf perpendicolari alla retta x-2y-9=0.

Urgente Grazie per l’al’aiuto!!

Non è chiarissima la traccia, ma credo che la circonferenza passi per i 3 vertici del triangolo. Di conseguenza avremo:

x^2+y^2+ax+by+c=0

Ricaviamo l’equazione con il passaggio per i 3 punti:

\begin{cases} 16+9-4a+3b+c=0 \\ 36+9-6a-3b+c=0 \\ 25-5b+c=0\end{cases}

\begin{cases} 25-4a+3b+5b-25=0 \\ 45-6a-3b+5b-25=0 \\ c=5b-25\end{cases}

\begin{cases} 2b-a=0 \\ -6a+2b+20=0 \\ c=5b-25\end{cases}

\begin{cases} a=2b \\ -12b+2b+20=0 \\ c=5b-25\end{cases}

\begin{cases} a=4 \\ b=2 \\ c=-15\end{cases}

L’equazione della circonferenza sarà quindi:

x^2+y^2+4x+2y-15=0.

Le rette perpendicolari alla retta data saranno del tipo:

y=-2x+q

Andando a sostituire nell’equazione della circonferenza e poi ponendo il \Delta=0, otterremo il risultato cercato:

x^2+(2x+q)^2+4x+2(2x+q)-15=0

x^2+4x^2+4xq+q^2+4x+4x+2q-15=0

5x^2+4x(q+2)+q^2+2q-15=0

\frac {\Delta}{4}=4(q+2)^2-5(q^2+2q-15)

\frac {\Delta}{4}=4q^2+16q+16-5q^2-10q+75

\frac {\Delta}{4}=-q^2+22q+75

Poniamo il \Delta=0, e avremo:

q^2-22q-75=0

(q-25)(q+3)=0

e di conseguenza le due rette cercate saranno:

y=-2x+25

y=-2x-3

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