Salvatore scrive: Problemi sull’iperbole

Oggetto: Problemi sull’iperbole

Corpo del messaggio:

Sono i problemi segnati con la matita nel libro

Risposta dello staff

196)

a) Data l’equazione $xy=c$ ,la lunghezza del semiasse trasverso sarà: $a=\sqrt{2 \left| c \right|}$ .

Di conseguenza avremo che:

$a= \sqrt{2k}=4$

$2k=16$

$k=8$

b) FAI IL GRAFICO

I vertici saranno:

$V=\left( \pm \sqrt{c}; \pm \sqrt{c }\right)$

$V=\left( \pm 2\sqrt 2; \pm 2\sqrt{2}\right)$

I fuochi saranno:

$F=\left( \pm \sqrt{2c}; \pm \sqrt{2c }\right)$

$F=\left( \pm 4; \pm 4 \right)$

Visto che i vertici giacciono su $y=x$ , allora le tangenti passante per i vertici saranno parallele di $y=-x$

Avremo quindi:

$t_1: y_{V_1}=-x_{V_1}+q \rightarrow 2\sqrt 2 =-2\sqrt 2 +q \rightarrow q=4\sqrt 2$

$t_2: y_{V_2}=-x_{V_2}+q \rightarrow -2\sqrt 2 =2\sqrt 2 +q \rightarrow q=-4\sqrt 2$

Le due rette saranno quindi:

$y=-x \pm 4\sqrt 2$

197)

Affinchè siano tangenti alla circonferenza nei vertici, bisogna considerare i punti della circonferenza tali per cui $y= \pm x$ . Di conseguenza avremo:

$2x^2=4$

$x^2=2$

$x= \pm \sqrt 2$ .

Quindi, se la circonferenza è tangente nei punti $x=y= \pm \sqrt 2$ avremo che l’iperbole ha equazione $xy=2$ , se la circonferenza è tangente nei punti $x=-y$ avremo che l’iperbole ha equazione $xy=-2$ .

I vertici avranno coordinate

$A(\sqrt 2;\sqrt 2)$

$B(\sqrt 2;-\sqrt 2)$

$C(-\sqrt 2;-\sqrt 2)$

$D(-\sqrt 2;\sqrt 2)$

Si capisce subito che è un quadrato e la sua area sarà:

$A=(2\sqrt2)^2=8$

198)

Mettendo a sistema retta ed iperbole generica otteniamo:

$\begin{cases} xy=c \\ y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases} -2x^2+x-c=0 \\ y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases} 2x^2-x+c=0 \\ y=-2x+1\end{cases}$

$x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {1-8c}}{4}$

Di conseguenza i due punti avranno coordinate:

$A\left( \frac {1 + \sqrt {1-8c}}{4};\frac {1 - \sqrt {1-8c}}{2}\right)$

$B\left( \frac {1 - \sqrt {1-8c}}{4};\frac {1 + \sqrt {1-8c}}{2}\right)$

Calcoliamo la distanza tra A e B e poniamola uguale alla richiesta dell’esercizio:

$AB=\sqrt{(x_B-x_a)^2+(y_B-y_a)^2}=\frac 72 \sqrt 5$

$\left( \frac {1 - \sqrt {1-8c}}{4} - \frac {1 + \sqrt {1-8c}}{4}\right)^2+\left( \frac {1 + \sqrt {1-8c}}{2} - \frac {1 - \sqrt {1-8c}}{2}\right)^2=\frac {245}{4}$