Fabio scrive: Geometria analitica

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Oggetto: Geometria analitica

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(URGENTE)Grazie mille

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Risposta dello staff

a) Affinchè P descriva la circonferenza deve verificare la condizione di passaggio per:

x^2+y^2=1

Verifichiamo:

\frac {(1-k^2)^2}{(1+k^2)^2}+\frac {(2k)^2}{(1+k^2)^2}=1

1-2k^2+k^2+4k^2=1+2k+k^2

1+2k^2+k^2=1+2k+k^2

Essendo un’identità verifica la richiesta.

b) Sapendo che il centro è l’origine, ricaviamo subito la retta che rappresenta il raggio:

y=mx

\frac {2k}{1+k^2}=m\frac {1-k^2}{1+k^2}

m=\frac {2k}{1-k^2}

Una generica retta perpendicolare a questa, e quindi tangente al punto P, avrà coefficiente angolare:

m_1=\frac{k^2-1}{2k}

Ricaviamo quindi la generica retta:

y=mx+q

\frac {2k}{1+k^2}=\frac{k^2-1}{2k}\frac {1-k^2}{1+k^2}+q

q=\frac {2k}{1+k^2}+\frac{k^4-2k^2+1}{2k(1+k^2)}

q=\frac{k^4+2k^2+1}{2k(1+k^2)}

q=\frac{k^2+1}{2k}

La retta sarà quindi:

y=\frac{k^2-1}{2k}x+\frac {k^2+1}{2k}

(k^2-1)x-2ky+k^2+1=0

c) A\left(1;0\right)

B\left(0;1\right)

C\left(0;\frac {k^2+1}{2k}\right)

D\left(\frac {k^2+1}{1-k^2};0\right)

Affinchè sia un trapezio le due basi devono essere parallele.

La retta che passa per A e B sarà:

y=-x+1

Imponiamo che il coefficiente angolare della retta passante per C e D sia -1:

m_{CD}=\frac {y_C-y_D}{x_C-x_D}=\frac {\frac {k^2+1}{2k}}{-\frac {k^2+1}{1-k^2}}=\frac {k^2+1}{2k} \cdot \frac {k^2-1}{k^2+1}=\frac {k^2-1}{2k}

Avremo quindi:

\frac {k^2-1}{2k}=-1

k^2+2k-1=0

k_{\frac 12}=\frac {-2 \pm \sqrt {4+4}}{2}=\frac {-2 \pm 2\sqrt {2}}{2}=-1\pm\sqrt 2

k=-1-\sqrt2 non è accettabile perchè interseca l’asse x e y nei semi assi negativi.

La soluzione è k=\sqrt 2-1.

d) Sostituendo il valore di k otteniamo le coordinate di C e D:

C\left(0;\frac {2-2\sqrt 2+1+1}{2(\sqrt 2-1)}\right)

C\left(0;\frac {2-\sqrt 2}{\sqrt 2-1}\right)

C\left(0;\sqrt 2\right)

D\left(\frac {2-2\sqrt2+1+1}{1-2+2\sqrt 2-1};0\right)

D\left(\frac {2-\sqrt2}{\sqrt 2-1};0\right)

D\left(\sqrt 2;0\right)

Per calcolare l’area del trapezio facciamo la differenza di area tra i due triangoli rettangoli AOB e COD.

A_{AOB}=\frac 12

A_{COD}=\frac {\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{2}=1

Di conseguenza l’area del trapezio sarà:

A_{ABCD}=1-\frac 12=\frac 12

 

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