Valentina scrive: Problema con incognita

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Oggetto: Problema con incognita.

Corpo del messaggio:
E’ data la semicirconferenza di diametro AB lungo 20 cm. Preso sulla semicirconferenza un punto Q, prolunga AQ in modo che incontri la tangente alla semicirconferenza passante per B nel punto T. Siano R e H rispettivamente le proiezioni di Q su TB e su AB.
a) Determina AQ sapendo che:
10 QR + 3 AQ = 120.
b) Trova il rapporto di similitudine tra i triangoli QTR e QBR.

Grazie.

 Risposta dello staff

semicirconferenza con tangente

Dalla costruzione sapiamo che QR=HB.

Sappiamo anche che, per costruzione, AQB è rettangolo perchè è inscritto in una semicirconferenza.

Quindi, sia:

AQ=x

AQB e AQH sono simili, e quindi avremo che:

AH:AQ=AQ:20

AH=\frac {x^2}{20}

HB=QR=AB-AH=20-\frac {x^2}{20}

sostituendo il tutto nell’equazione data otteniamo:

10(20-\frac {x^2}{20})+3x=120

200-\frac {x^2}{2}+3x=120

x^2-6x-160=0

(x-16)(x+10)=0

Da cui le due soluzioni:

x=16

o

x=-10

cn quest’ultima non accettabile.

2) Per ricavare il rapporto tra i due triangoli notiamo che nel rapporto delle due aree:

r= \frac {A_{QRT}}{A_{QBR}}=\frac {\frac {QR \cdot RT}{2}}{\frac {QR \cdot RB}{2}}=\frac {RT}{RB}

Ma notiamo che QH=RB e quindi, notando che AQH e QRT sono simili avremo che:

\frac {RT}{QH}=\frac {RQ}{AH}=\frac {HB}{AH}=0,5625

dato che AH=12,8 \mbox{ dm}

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