Eleonora: Studio di funzione

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Oggetto: trovare le  coordinate dei massimi e dei minimi,le intersezioni  con gli assi ed eventuali asintoti +grafico

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio? Grazie  in anticipo 🙂

y= \frac {1}{(1-2x)^3}

 

Risposta dello staff

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, imponiamo che il denominatore sia diverso da 0 e quindi il dominio sarà: \mathbb{R} - \{ \frac 12\}.

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac {1}{(1-2x)^3}

f(-x)=\frac {1}{(1+2x)^3}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}

Non avrà intersezioni con l’asse delle x.

La funzione, quindi, avrà una sola intersezione con gli assi:

\left (0;1 \right).

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac {1}{(1-2x)^3} \geq0

(1-2x)^3 >0

x < \frac 12

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

y=0  è anche asintoto orizzontale.

  • Asintoti

    \[\lim_{ x \rightarrow \frac 12^-} f(x)= \frac {1}{0^+}=+\infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow \frac 12^+} f(x)= \frac {1}{0^-}=-\infty\]

x=\frac 12 è un asintoto verticale.

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {6}{(1-2x)^4}

y' \geq 0

Dato che questa disequazione è sempre verificata, \forall x \in \mathbb{ R}, avremo che la funzione sarà crescente nei due intervalli:

\left(-infty;\frac 12 \right) e \left ( \frac 12 ; + \infty \right)

Non annullandosi mai la derivata prima questa funzione non avrà ne massimi ne minimi.

 

 

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