Vincenzo scrive: Esercizio

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Oggetto: Esercizio

Corpo del messaggio:
(4-k^2)x^2-4x+1=0

a) radici reali;
b) radici opposte;
c) radici reciproche;
d) somma delle radici ugale a 2 sqrt(2);
e) somma dei reciproci dei quadrati delle radici uguale a 2;

 

Risposta dello staff

Svolgimento:

Innanzitutto notiamo che se k= \pm 2 l’equazione diventa un’equazione di primo grado.

a)

Affinchè le radici siano reali, il \Delta deve essere maggiore o uguale a 0.

\Delta=16-4(4-k^2)=16-16+4k^2=4k^2

Quindi, per qualsiasi valore di k, l’equazione ammetterà radici reali.

b)

Affinchè le radici siano opposte, deve verificarsi che la somma delle radici sia nulla, ovvero che:

-\frac ba=0

Ma questo, non essendo il coefficiente della x in funzione di k, non si verificherà mai.

c)

Affinchè le radici siano reciproche, deve verificarsi che il prodotto delle radici sia 1, ovvero che:

\frac ca=1

\frac{1}{4-k^2}=1

da cui:

4-k^2=1

k^2=3

k= \pm \sqrt 3

d)

Deve verificarsi che la somma delle radici sia uguale a 2\sqrt 2, ovvero che:

-\frac ba=2\sqrt 2

\frac{-4}{4-k^2}=1

da cui:

4-k^2=-4

k^2=8

k= \pm 2\sqrt 2

e)

Affinchè la somma dei reciproci dei quadrati delle radici uguale a 2, deve verificarsi che:

\frac {1}{x_1^2}+\frac {1}{x_2^2}=2

\frac {x_1^2+x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}=2

\frac {(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1^2 \cdot x_2^2}=2

\left(\frac {x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2}\right)^2-\frac {2}{x_1 \cdot x_2}=2

\left(\frac {-b}{c}\right)^2-\frac {2a}{c}=2

Sostituiamo e otteniamo:

\left(-4\right)^2-2(4-k^2)=2

16-8+2k^2=2

k^2=-6

Un quadrato non potrà mai essere uguale ad un numero negativo e quindi non si verificherà mai.

 

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