Calcolare i limiti per x che tende a 0 e a infinito di xe^1/x -x
Analizziamone uno alla volta:
![\[\lim_{x \to 0} xe^{\frac 1x}-x=\infty\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1b94e9cb7db705a8b9a6fd831e06e51_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Senza fare grossi calcoli, notando che 
per 
, e quindi, a prescindere dalla presenza del polinomio, questo limite tenderà ad infinito. Il segno dipenderà dal segno dello 0.
![\[\lim_{x \to \infty} xe^{\frac 1x}-x=\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05e6a05044945de2e57e4c2388af6df1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora, ricordando il limite notevole:
![\[\lim_{t \to 0} \left( e^{t} -1\right)=t\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41c5e6556da5f2cfb24dbefa12b07d3b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
allora avremo che:
![\[\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)=\lim_{x \to \infty} x\cdot {\frac 1x}=1\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3e687190dfadba33012258fcba488d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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