Anna scrive: Risoluzione di uno studio di funzione

Studiare la funzione x^2-3x+2 tutto diviso x ^2 .determinare inoltre l’area di piano cartesiano racchiusa tra la funzione e l’asse delle ascisse.

Risposta dello staff

$f(x)=\frac {x^2-3x+2}{x^2}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, ovvero 0, e quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}-\{0\}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; 0[ \quad \cup \quad ]0;+\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-\frac {x^2-3x+2}{x^2}$

$f(-x)=\frac {x^2+3x+2}{x^2}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} y=0 \\ x^2-3x+2= 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ x= 1 \quad \lor \quad x=2 \end{cases}$

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

$\left (1;0 \right)$ e $\left (2;0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac {x^2-3x+2}{x^2} \geq 0$

Studiamo solo il numeratore, in quanto il denominatore, nel dominio, è sempre positivo, quindi:

$x^2-3x+2 \geq 0 \rightarrow x\leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2$

Di conseguenza, intersecando la soluzione al dominio, otteniamo:

$f(x) >0 \iff x <0 \quad \lor \quad 0<x<1 \quad \lor \quad x>2$

$f(x) <0 \iff 1<x<2$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 1$

$\lim_{ x \rightarrow 0^-} f(x)= +\infty$

$\lim_{ x \rightarrow 0^+} f(x)= +\infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=1$

La funzione avrà asintoto verticale in $x=0$ .

Studio della derivata prima

$y'=\frac {x^2(2x-3)-2x(x^2-3x+2)}{x^4}=\frac {2x^3-3x^2-2x^3+6x^2-4x}{x^4}= \frac {3x^2-4x}{x^4}=\frac {3x-4}{x^3}$

$y' \geq 0$

$\frac{3x-4}{x^3} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$3x-4 \geq 0 \iff x \geq \frac 43$

$x^3 > 0 \iff x >0$

La disequazione è quindi verificata per $x< 0 \quad \lor \quad x \geq \frac 43$

La funzione sarà quindi crescente in $]-\infy;0]$ ed in $]\frac 43;+\infty[$ e decrescente in $]0;\frac 43[$ .

Ammetterà quindi un minimo di ascissa $x=\frac 43$ .

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {3x^3-3x^2(3x-4)}{x^6}=\frac {3x^3-9x^3+12x^2}{x^6}=\frac {12x^2-6x^3}{x^6}=\frac {6(2-x)}{x^4}$

$y''\geq 0$

$\frac {6(2-x)}{x^4} \geq0$

Il denominatore è sempre positivo nel dominio e quindi rimane solo da studiare il numeratore:

$2-x \geq 0 \rightarrow x \leq 2$

Mettendo insieme tutti i risultati avremo che la funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli $]-\infty; 0 [$ e $]0;2[$ concavità verso il basso nell’intervall0 $]2 ;+\infty[$ .