Giovanni scrive: Disequazione parametrica

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Svolgere la seguente disequazione:

image (8)

 

Risposta dello staff

Dato che x^2+3 è sempre positivo ci limiteremo a studiare:

\frac {\left | 1- \lambda \right|}{x^2+3} \leq 1

\left | 1- \lambda \right| \leq x^2+3

Quindi, se \lambda \leq 1, avremo:

1- \lambda \leq x^2+3

x^2+2+\lambda \geq 0

x^2 \geq -2-\lambda

Quindi:

  • -2-\lambda \leq 0 \iff \lambda \geq -2 la disequazione è sempre verificata. Intersecando con la condizione iniziale avremo:
    -2 \leq \lambda \leq 1 sempre verificata.
  • \lambda <-2 avremo che la soluzione della disequazione è:
    x \leq -\sqrt{-2-\lambda} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{-2-\lambda}

Analizziamo ora per \lambda >1.

\lambda-1 \leq x^2+3

x^2 \geq \lambda-4

Quindi, per 1<\lambda \leq 4 la disequazione sarà sempre verificata.

per \lambda>4, l’equazione sarà verificata per:

x \leq -\sqrt{\lambda-4} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{\lambda-4}

Unendo ora il tutto avremo:

  • \lambda<-2 \Rightarrow x \leq -\sqrt{-2-\lambda} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{-2-\lambda}
  • -2 \leq \lambda \leq 4 la disequazione è sempre verificata
  • \lambda >4 \Rightarrow x \leq -\sqrt{\lambda-4} \quad \lor \quad x \geq \sqrt{\lambda-4}

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