Sandro scrive: Problemi parabola

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Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse Y di vertice (2;3) e passante per A(1;2); determina poi il secondo punto di intersezione tra essa e la retta che passa per l’origine e per A

Risposta dello staff

Sapendo che è parallelo all’asse delle y allora l’equazione sarà del tipo:

y=ax^2+bx+c

Il vertice generico avrà coordinate:
\left( - \frac{b}{2a}; - \frac{\Delta}{4a} \right)

Quindi avremo:

\begin{cases} -\frac{b}{2a}=2 \\ -\frac{\Delta}{4a} =3 \\ a+b+c=2 \end{cases}

\begin{cases} b=-4a \\ 4ac-b^2=12a \\ a-4a+c=2 \end{cases}

\begin{cases} b=-4a \\ 4a(2+3a)-(-4a)^2=12a \\ c=2+3a \end{cases}

\begin{cases} b=-4a \\ 8a+12a^2-16a^2=12a \\ c=2+3a \end{cases}

\begin{cases} b=-4a \\ 4a^2+4a=0 \\ c=2+3a \end{cases}

\begin{cases} b=-4a \\ a=0 \quad \lor \quad a=-1 \\ c=2+3a \end{cases}

\begin{cases} b=4 \\ a=0 \quad \lor \quad a=-1 \\ c=-1 \end{cases}

L’equazione è quindi:

y=-x^2+4x-1

La retta che passa per l’origine è del tipo:

y=mx

passando per A sarà:

y=2x

Troviamo il punto di intersezione:

\begin{cases} y=2x \\ y=-x^2+4x-1 \end{cases}

\begin{cases} y=2x \\ 2x=-x^2+4x-1 \end{cases}

\begin{cases} y=2x \\ x^2-2x+1=0 \end{cases}

\begin{cases} y=2x \\ (x-1)^2=0 \end{cases}

Da qui se ne deduce che i due punti coincidono e che quindi la retta è tangente alla parabola nel punto A.

 

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