Luca scrive: Integrale

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Oggetto: integrale

Corpo del messaggio:
integrale da 0 a 1 di (6x+5)/(x^2 +x +1) dx

    \[\int_0^1 \frac {6x+5}{x^2+x+1} \, dx=\int_0^1 \frac {6x+3+2}{x^2+x+1} \, dx\]

Risposta dello staff

Studiamo separatamente i due integrali:

    \[\int_0^1 \frac {6x+3}{x^2+x+1} \, dx=3\int_0^1 \frac {2x+1}{x^2+x+1} \, dx=\]

    \[=\left[3 log(x^2+x+1)\right]_0^1=3(log(3)-log(1))=3log3\]

    \[\int_0^1 \frac {2}{x^2+x+1} \, dx=2\int_0^1 \frac {1}{(x+\frac 12)^2+\frac 34} \, dx\]

Ricordando la formula immediata, nel caso in cui il \Delta del denominatore sia negativo:

    \[\int \frac {1}{ax^2+bx+c} \, dx= \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}} arctg \frac {2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+c\]

e quindi otteniamo:

    \[2\int_0^1 \frac {1}{x^2+x+1} \, dx=\left [\frac{4}{\sqrt{3}} arctg\left( \frac {2x+1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1=\frac{4}{\sqrt{3}} arctg\left( \sqrt{3}\]

da cui sommando i due risultati avremo:

    \[\int_0^1 \frac {6x+5}{x^2+x+1} \, dx=3log3+\frac{4}{\sqrt{3}} arctg \sqrt{3}\]

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