Micol scrive: Esercizio di geometria analitica

Oggetto: esercizio 12 geometria analitica

Corpo del messaggio:
E’ l’esercizio 12 nella foto

Date le due circonferenze:

$x^2+y^2+ax+by+c=0$

$x^2+y^2+a'x+b'x+c'=0$

a) affinchè siano concentriche deve verificarsi che, data certa l’esistenza, i due centri coincidano, quindi:

$\begin{cases} -\frac a2=-\frac{a'}{2} \\ -\frac b2=-\frac{b'}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a=a' \\ b=b' \end{cases}$

b) Visto che già prima abbiamo verificato come debbano avere lo stesso centro, a questa

$\begin{cases} a=a' \\ b=b' \end{cases}$

viene aggiunta la condizione di appartenenza alla bisettrice, ovvero alla retta di equazione:

$y=-x$

da cui:

$a=-b$ .

affinchè passi per l’origine, il termine noto deve essere nullo e quindi:

$c=c'=0$

Affinchè siano entrambe tangenti nello stesso punto all’asse x, deve verificarsi che:

$x^2+ax+c=0$

$x^2+a'x+c'=0$

da cui, a prescindere dalla x, avremo:

$a=a' \quad \wedge \quad c=c'$ ,

ed inoltre che il $\Delta=0$

da cui:

$a^2-4c=0$

e quindi:

$a^2=4c$

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