Lucrezia scrive: procedimento+grafico della seguente funzione 2

$y=\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}$

Calcoliamo il dominio:

$\begin{cases}x^2+x+1 \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} \\ x \neq 0 \end{cases}$

$D= \mathbb{R} - \{ 0 \}$

Calcoliamo la positività, notando che, il numeratore è strettamente positivo e quindi:

$f(x) >0 \iff x>0$

$f(x)=0 \, \, \, Mai$

$f(x)<0 \iff x<0$

Calcoliamo i limiti negli estremi del dominio:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \pm 1$

$\lim_{x \to 0^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{x \to 0^+} f(x)= + \infty$

Calcoliamo la derivata prima:

$f'(x)=\frac{\frac{x(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}} -\sqrt{x^2+x+1} }{x^2}=$

$=\frac{2x^2+x -2x^2-2x-1 }{2x^2\sqrt{x^2+x+1}}=$

$=\frac{-x-1 }{2x^2\sqrt{x^2+x+1}}$

Studiamo la positività della derivata prima notando che il denominatore è sempre positivo $\forall x \in D$ e quindi:

$f'(x) >0 \iff x<-1$

$f'(x) =0 \iff x=-1$

$f'(x) <0 \iff -1<x<0 \quad \lor \quad x>0$

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