Lamberto scrive: Funzioni, limite ed integrale

Pubblicato il 16 Febbraio 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Funzioni, limite ed integrale

Corpo del messaggio:

a=1
b=1
c=2

Risposta dello staff

1)

$f(x)=\sqrt x-x^2$

$D: \left[0;+\infty\left[$

a)

$\sqrt x-x^2 >0$

$\sqrt(1-x^{\frac 32}\right)>0$

$x^{\frac 32}<1$

Quindi la soluzione sarà:

$]0;1[$

b)

$f'(x)=\frac {1}{2\sqrt x} -2x$

$\frac {1}{2\sqrt x} -2x>0$

$\frac {1-4x\sqrt x}{2\sqrt x} >0$

$4x\sqrt x<1$

$x^{\frac 32}<\frac 14$

$x<4^{-\frac 23}$

$x<16^{-\frac 13}$

Quindi la soluzione sarà:

$]0;16^{-\frac 13}[$

c)

$f''(x)=-\frac 14 (x)^{-\frac 32}-2$

$-\frac 14 (x)^{-\frac 32}-2>0$

$\frac 14 (x)^{-\frac 32}+2<0$

Dato che la radice assume solo valori positiva, e questa, sommata ad un numero positivo sarà sempre positiva, la disequazione non verrà mai verificata. Di conseguenza la funzione è sempre concava.

d)

Prendiamo la generica retta passante per

$P(1,0)$

$y=mx-m$

Ricaviamo il coefficiente angolare calcolando:

$f'(1)=-\frac 32$

da cui:

$y=-\frac 32x+\frac 32$

2)

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3-log(x^4)}{x+\sqrt{3x^2}}$

Razionalizziamo:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3-log(x^4)}{x+\sqrt{3x^2}} \cdot \frac {x-\sqrt{3x^2}}{x-\sqrt{3x^2}}=$

$=\lim_{x \to -\infty} \frac{(2x^3-log(x^4))(x-\sqrt{3x^2})} {x^2-3x^2}\simeq$

$\simeq \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^4} {-2x^2}=-\infty$

3)

$\int_1^e \frac{cos(\frac{\pi}{2} + ln(x))}{x} \, \, dx=\left[ sen(\frac{\pi}{2} + ln(x))\right]_1^e=sen(\frac{\pi}{2} +1)-sen(\frac{\pi}{2})=cos (1)-1$

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