Emanuele scrive: Studio di una funzione

Pubblicato il 4 Settembre 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Studio di una funzione

Corpo del messaggio:
Studiare e graficare la seguente funzione: y= x^3 / x-1

Vi chiedo un favore se potevate essere rapidi che domani ho l’esame di riparazione grazie mille!!

Risposta dello staff

$y=\frac{x^3}{x-1}$

Dominio:

$x-1 \neq 0$

$x \neq 1$

$D: ] -\infty; 1 [ \, \, \cup \, \, ]1;+\infty[$

Studiamo la positività:

$f(x) \geq 0$

$\frac{x^3}{x-1}\geq 0$

$N \geq 0 \iff x \geq 0$

$D>0 \iff x >1$

Per cui:

$f(x) >0 \iff x <0 \quad \lor \quad x>1$

$f(x) =0 \iff x =0$

$f(x) <0 \iff 0<x <1$

Verifichiamo eventuale parità o disparità:

$f(x)=\frac{x^3}{x-1}$

$f(-x)=\frac{x^3}{x+1}$

$-f(x)=\frac{x^3}{1-x}$

Non avrà simmetrie.

Studiamo i limiti negli estremi del dominio:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} f(x)= -\infty$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)= +\infty$

Essendo la differenza di grado tra numeratore e denominatore maggiore di 1, non ci sarà asintoto obliquo.

Studiamo ora la crescenza e la decrescenza:

$f'(x)=\frac{3x^2(x-1) - x^3}{(x-1)^2}$

$f'(x)=\frac{3x^3-3x^2 - x^3}{(x-1)^2}$

$f'(x)=\frac{2x^3-3x^2 }{(x-1)^2}$

$f'(x)=\frac{x^2(2x-3) }{(x-1)^2}$

Per cui, avremo che:

$N_1: x^2 \geq 0 \forall x \in \mathbb{R}$

$N_2: 2x-3 \geq 0 x \geq \frac 32$

$D: (x-1)^2 > 0 \forall x \in \mathbb{D}$

$f'(x) >0 \iff x > \frac 32$

$f'(x) =0 \iff x = \frac 32 \quad \lor \quad x=0$

$f'(x) <0 \iff x<0 \quad \lor \quad 0<x < 1 \quad \lor \quad 1<x<\frac 32$

$x=\frac 32$ è punto di minimo.

Studiamo la derivata seconda:

$f''(x)=\frac{(6x^2-6x)(x-1)^2-(2x^3-3x^2)2(x-1)}{(x-1)^4}$

$f''(x)=\frac{(6x^2-6x)(x-1)-4x^3+6x^2}{(x-1)^3}$

$f''(x)=\frac{6x^3-6x^2-6x^2+6x-4x^3+6x^2}{(x-1)^3}$

$f''(x)=\frac{2x^3-6x^2+6x}{(x-1)^3}$

$f''(x)=\frac{2x(x^2-3x+3)}{(x-1)^3}$

Essendo $x^2-3x+3>0$ per ogni x, avremo:

$f''(x)>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>1$

$f''(x)=0 \iff x=0$

$f''(x)<0 \iff 0<x<1$

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