Qualcuno scrive: Funzione

Determinare al variare di lambda il numero delle soluzioni

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Risposta dello staff

Studiamo la funzione f(x)=x^2 e^{-x^2+3x+2}

Il dominio sarà tutto \mathbb{R} essendo x^2 definita in tutto \mathbb{R} e l’esponente una funzione polinomiale.

La funzione essendo formata da un prodotto di x^2 e una funzione esponenziale, sarà sempre positiva, e si annullerà solo per x=0

Quindi avremo:

f(x)>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>0

f(x)=0 \iff x=0

f(x)<0 \quad \mbox{ mai }.

Studiamo i limiti negli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to \infty} f(x)=0\]

In quanto l’esponenziale all’infinito è di ordine superiore.

Studiamo la derivata prima:

f'(x)=2x e^{-x^2+3x+2}+ x^2 e^{-x^2+3x+2}(-2x+3)

f'(x)=x e^{-x^2+3x+2}(2+ x(-2x+3))

f'(x)=-x e^{-x^2+3x+2}(2x^2-3x-2)

Studiamo la positività della derivata prima:

-x>0 \iff x<0

e^{-x^2+3x+2}>0 \forall x

2x^2-3x-2>0

x_{\frac 12}=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{3 \pm 5}{4}

x_1=-\frac  12

x_2=2

Per cui:

x<-\frac 12 \quad \lor \quad x>2

Quindi, facendo il grafico delle soluzioni (non so disegnarlo qui), avremo che:

f crescente per x<-\frac 12

x=-\frac 12 punto di massimo con y=\frac 14 e^{\frac 12}=\frac 14 \sqrt e

f decrescente per -\frac 12<x<0

x=0 punto di minimo con y=0

f crescente per 0<x<2

x=2 punto di massimo con y=4e^{4}

f decrescente per x>2

Infine possiamo capire, tracciando il grafico, il numero di soluzioni al variare di \lambda:

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\lambda<0 non avrà soluzione.

\lambda=0 1 soluzione.

0<\lambda<\frac 14 \sqrt e 4 soluzioni.

\lambda=\frac 14 \sqrt e 3 soluzioni.

\frac 14 \sqrt e<\lambda <4e^4 2 soluzioni.

\lambda =4e^4 1 soluzioni.

\lambda >4e^4 nessuna soluzione.

 

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