Qualcuno scrive: Funzione

Pubblicato il 8 Settembre 2015 da Lo StaffLascia un commento

Determinare al variare di lambda il numero delle soluzioni

Risposta dello staff

Studiamo la funzione $f(x)=x^2 e^{-x^2+3x+2}$

Il dominio sarà tutto $\mathbb{R}$ essendo $x^2$ definita in tutto $\mathbb{R}$ e l’esponente una funzione polinomiale.

La funzione essendo formata da un prodotto di $x^2$ e una funzione esponenziale, sarà sempre positiva, e si annullerà solo per $x=0$

Quindi avremo:

$f(x)>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>0$

$f(x)=0 \iff x=0$

$f(x)<0 \quad \mbox{ mai }$ .

Studiamo i limiti negli estremi del dominio:

$\lim_{x \to \infty} f(x)=0$

In quanto l’esponenziale all’infinito è di ordine superiore.

Studiamo la derivata prima:

$f'(x)=2x e^{-x^2+3x+2}+ x^2 e^{-x^2+3x+2}(-2x+3)$

$f'(x)=x e^{-x^2+3x+2}(2+ x(-2x+3))$

$f'(x)=-x e^{-x^2+3x+2}(2x^2-3x-2)$

Studiamo la positività della derivata prima:

$-x>0 \iff x<0$

$e^{-x^2+3x+2}>0 \forall x$

$2x^2-3x-2>0$

$x_{\frac 12}=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{3 \pm 5}{4}$

$x_1=-\frac 12$

$x_2=2$

Per cui:

$x<-\frac 12 \quad \lor \quad x>2$

Quindi, facendo il grafico delle soluzioni (non so disegnarlo qui), avremo che:

f crescente per $x<-\frac 12$

$x=-\frac 12$ punto di massimo con $y=\frac 14 e^{\frac 12}=\frac 14 \sqrt e$

f decrescente per $-\frac 12<x<0$

$x=0$ punto di minimo con $y=0$

f crescente per $0<x<2$

$x=2$ punto di massimo con $y=4e^{4}$

f decrescente per $x>2$

Infine possiamo capire, tracciando il grafico, il numero di soluzioni al variare di $\lambda$ :

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$\lambda<0$ non avrà soluzione.

$\lambda=0$ 1 soluzione.

$0<\lambda<\frac 14 \sqrt e$ 4 soluzioni.

$\lambda=\frac 14 \sqrt e$ 3 soluzioni.

$\frac 14 \sqrt e<\lambda <4e^4$ 2 soluzioni.

$\lambda =4e^4$ 1 soluzioni.

$\lambda >4e^4$ nessuna soluzione.

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