Ginevra scrive: Matematica

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Oggetto: Matematica

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Risposta dello staff

f(x)= \begin{cases} 1-e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{x-1}{x+1} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}

Come vediamo il dominio sarà tutto \mathbb{R}, perchè se nel primo tratto escluderemmo lo 0, già escluso cmq, nel secondo tratto escluderemmo x=-1, ma li le x sono considerate solo positive.

Studiamo la positività:

1-e^{\frac 1x} >0

e^{\frac 1x} <1

\frac 1x<0

x<0

Quindi, nel primo tratto è sempre positiva.

\frac{x-1}{x+1} >0

x<-1 \quad \lor \quad x>1

Quindi, mettendo a sistema con tutta la funzione otteniamo che:

f(x)>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>1

f(x)=0 \iff x=1

f(x)<0 \iff 0<x<1

Studiamo i limiti agli estremi:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)=0\]

    \[\lim_{x \to 0^-} f(x)=1\]

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x)=-1\]

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x)=1\]

Quindi avremo due asintoti orizzontali, e notiamo che la funzione in 0 non è continua.

Studiamo ora la derivata prima:

f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^2}e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}

f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^2}e^{\frac 1x} \, \, se \, \,x<0 \\ \frac{2}{(x+1)^2} \, \, se \, \,x<0 \end{cases}

Quindi, la funzione, nei due singoli intervalli, è sempre crescente.

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