Francesca scrive: Risoluzione della funzione

Oggetto: Risoluzione della funzione

Corpo del messaggio:

y=x^4-4x^2

Risposta dello staff

Essendo una funzione razionale intera il dominio è tutto \mathbb{R}. Studiamo la positività:

x^4-4x^2>0

x^2(x^2-4)>0

x^2>0 \qquad \forall x - \{0\}

x^2-4>0 \iff -2<x<0 \quad \lor \quad 0<x<2

Quindi avremo che:

f(x)>0 \iff x<-2 \quad \lor \quad x>2

f(x)=0 \iff x=\pm 2 \quad \wedge \quad x=0

f(x)<0 \iff -2<x<2

E’ una funzione pari, in quanto f(x)=f(-x).

Studiamo i limiti agli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=+ \infty\]

Studiamo la derivata prima:

f'(x)=4x^3-8x

Studiamo la positività della derivata prima:

4x^3-8x>0

4x(x^2-2)>0

4x>0 \iff x>0

x^2-2>0 \iff x<-\sqrt 2 \quad \lor \quad x> \sqrt 2

Quindi:

f'(x)>0 \iff -\sqrt 2<x<0 \quad \lor \quad x>\sqrt 2

f'(x)=0 \iff x=\pm \sqrt 2 \quad \wedge \quad x=0

f'(x)<0 \iff x<-\sqrt 2 \quad \lor \quad 0<x<\sqrt 2

Studiamo la derivata seconda:

f''(x)=12x^2-8

Studiamo la positività:

12x^2-8>0

3x^2-2>0

x^2>\frac 23

x< -\sqrt{\frac 23} \quad \lor \quad x>-\sqrt{\frac 23}

Rendered by QuickLaTeX.com

(Questa pagina è stata visualizzata da 50 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.