Mattia scrive: esercizio sul valore assoluto

Oggetto: esercizio sul valore assoluto

Corpo del messaggio:
|x-1|+ |x(allaseconda)+5x-6|>0

Risposta dello staff

$|x-1| + |x^2+5x-6|>0$

Essendo la somma di due valori assoluti, questa sarà sempre strettamente positiva a meno di trovare un valore che annulli entrambi.

Studiamo separatamente i valori assoluti:

$x-1 \geq 0 \iff x \geq 1$

$x^2+5x-6 \geq 0 \iff x \leq -6 \quad \lor \quad x \geq 1$

Avremo quindi che la disequazione è verificata sempre tranne che per $x=1$

Studiamo anche in un altro modo, svolgendo i tre sistemi separatamente:

$\begin{cases} x \leq -6 \\ 1-x+x^2+5x-6>0 \end{cases} \quad \quad\begin{cases} -6 <x <1 \\ 1-x-x^2-5x+6>0 \end{cases} \quad \quad\begin{cases} x \geq 1 \\ x-1+x^2+5x-6>0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -6 \\ x^2+4x-7>0 \end{cases} \quad \quad\begin{cases} -6 <x <1 \\ -x^2-6x+7>0 \end{cases} \quad \quad\begin{cases} x \geq 1 \\ x^2+6x-7>0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -6 \\ x< -2-\sqrt {11} \quad \lor \quad x> -2+\sqrt {11} \end{cases} \quad \quad\begin{cases} -6 <x <1 \\ -7<x<1 \end{cases} \quad \quad\begin{cases} x \geq 1 \\ x<-7 \quad \lor \quad x>1 \end{cases}$

Unendo tutto avremo che è sempre verificata in ogni intervallo e quindi ammette sempre soluzione come detto ad inizio esercizio escludendo solo $x=1$ , che renderebbe nulla la somma.

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