Esempio 3

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\int \frac {1}{1+senx} \mathrm {d}x

In tal caso è opportuno porre t=tg \frac x 2, da cui x=2arctg t; differenziando entrambi i membri si ricava: \mathrm {d}x = \frac {2}{1+t^2}\mathrm {d}t.

Ricordando la formula parametrica senx=\frac {2t}{1+t^2} ed effettuando la sostituzione nell’integrale assegnato, si ottiene:

\int \frac {1}{1+senx} \mathrm{d}x =

= \int \frac {1}{1+\frac {2t}{1+t^2}}\frac {2}{1+t^2}\mathrm{d}t=

= \int \frac {1+t^2}{1+t^2+2t} \frac {2}{1+t^2}\mathrm {d}t =

= \int \frac {2}{(1+t)^2}\mathrm{d}t =

= -\frac {2}{1+t}+k=

= -\frac {2}{1+tg\frac x 2 } + k.

 

In generale tale sostituzione semplifica la risoluzione di integrali contenenti solo funzioni goniometriche di primo grado.

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