Problema 1.2 Scientifico 2011

Si considerino le funzioni $f$ e $g$ definite, per tutti gli $x$ reali, da:

$f (x) = x^3 - 4x \quad \quad \mbox { e } \quad \quad g (x) = sen (\pi x).$

Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di $G_f$ con la retta $y = − 3$ . Successivamente, si considerino i punti di $G_g$ a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [− 6; 6] e se ne indichino le coordinate.

$\begin{cases}y=x^3-4x \\ y=-3 \end{cases} \iff x^3-4x+3=0$

Da qui notiamo che il polinomio si può scomporre con Ruffini, oppure usiamo un artificio:

$x^3-4x+3=x^3-x-3x+3=x(x^2-1)-3(x-1)=x(x+1)(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x^2+x-3)$

Quindi avremo:

$(x-1)(x^2+x-3)=0$ , da cui ricaviamo i 3 punti di intersezione con la retta:

$x_1=1$

$x^2+x-3=0$

$x_{\frac 23}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+12}}{2}=\frac {-1 \pm \sqrt {13}}{2}$ .

Avremo:

$C(1;-3) \quad D(\left (\frac {-1-\sqrt {13}}{2};-3\right) \quad E(\left (\frac {-1+\sqrt {13}}{2};-3\right).$

Per trovare tutti i punti di $G_g$ a tangente orizzontale, basterà imporre che la derivata prima si annulli (la derivata prima calcolata nel punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al punto)…

$g'(x)=\pi cos (\pi x)=0 \iff \pi x = \frac {\pi}{2}+k \pi, \mbox { con } k \in Z \iff x=\frac 12+k.$