Problema 2.4 P.N.I. 2011

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Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    \[f(x) = x^3 - 16x \quad \quad \mbox { e } \quad \quad g(x)= sen \frac {\pi}{2} x.\]

 

In ogni punto di R a distanza x dall’asse y, la misura della profondità dell’acqua nella piscina è data da h(x) = 5 - x. Quale sarà il volume d’acqua nella piscina? Quanti litri d’acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?

 

Il volume richiesto si otterrà dal seguente integrale:

    \[\int_0^4 \left[sen\frac {\pi}{2}x - \left(x^3-16x\right) \right]\left(5-x\right)dx=\int_0^4 \left[sen\frac {\pi}{2}x(5-x) +x^4-5x^3-16x^2+80x \right]dx.\]

Sono tutti integrali immediati eccetto uno:

    \[\int_0^4 \left[sen\frac {\pi}{2}x(5-x)\right] dx.\]

Svolgendolo per parti otteniamo:

f'(x)=sen\frac {\pi}{2}x \Rightarrow f(x)=-\frac {2}{\pi}cos\frac {\pi}{2}x

g(x)=5-x \Rightarrow g'(x)=-1.

Otteniamo quindi:

    \[\int_0^4 \left[sen\frac {\pi}{2}x(5-x)\right] dx=-\frac {2}{\pi}cos\frac {\pi}{2}x(5-x)-\int \frac {2}{\pi}cos\frac {\pi}{2}x=\frac {2}{\pi}cos\frac {\pi}{2}x(x-5) - \frac {4}{\pi^2} sen \frac {\pi}{2}x+c.\]

Portando tutto nell’integrale iniziale, otteniamo:

    \[\int_0^4 \left[sen\frac {\pi}{2}x(5-x) +x^4-5x^3-16x^2+80x \right]dx=\]

    \[\left[\frac {2}{\pi}cos\frac {\pi}{2}x(x-5) - \frac {4}{\pi^2} sen \frac {\pi}{2}x+\frac 15 x^4 -\frac 54 x^4 -\frac {16}{3}x^3+40x^2 \right]_0^4=\]

    \[\left( -\frac {2}{\pi}+\frac {1024}{5}-320-\frac {1024}{3}+640\right)-\left(-\frac {10}{\pi}+0 \right)=\]

    \[=\frac {8}{\pi}+\frac {3072-5120+4800}{15}=\frac {8}{\pi}+\frac {2752}{15}\simeq 186,0131.\]

Essendo il risultato in m^3, allora la piscina conterrà 186013 litri d’acqua.

 



 

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