Problema 2.3 P.N.I. 2013

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Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f (x) = x^3 ln x.

 

Sia R la regione delimitata da \gamma e dall’asse x sull’intervallo aperto a sinistra ] 0, 1]. Si calcoli l’area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in mm^2 avendo supposto l’unità di misura lineare pari a 1 decimetro.

 

Poichè la funzione f non è definita in x=0 dove tuttavia c’è una discontinuità eliminabile, l’area è data da:

    \[A=-\lim_{x \to 0} \int_0^1 x^3lnxdx\]

Il segno – si ha perchè l’integrale definito risulta negativo nell’intervallo considerato.

    \[A=-\lim_{x \to 0} \left[ \frac 14 x^4 ln x - \frac {1}{16}x^4 \right]_x^1\]

ottenuto integrando per parti.

Poichè il \lim_{x \to 0} \frac 14 x^4ln x=0^- (calcolato con de l’Hopital), si ottiene A=\frac {1}{16}\, \, dm^2 e quindi A=625 \, \, mm^2

 

N.B.

-) Integriamo per parti \int x^3lnxdx.

Ponendo:

  • f(x)=ln x \Rightarrow f'(x)=\frac 1x
  • g'(x)=x^3 \Rightarrow g(x)=\frac {x^4}{4}

otteniamo:

    \[\int x^3lnxdx=\frac {x^4}{4} lnx - \int \frac {x^4}{4} \frac 1x dx=\]

    \[=\frac {x^4}{4} lnx - \frac 14\int x^3 dx=\frac {x^4}{4} lnx - \frac 14 \frac{ x^4}{4}=\]

    \[\frac {x^4}{4} lnx - \frac {1}{16}x^4+c\]

-)

    \[\lim_{x \to 0} \frac 14 x^4ln x=\frac 14 \lim_{x \to 0} \frac {ln x}{\frac {1}{x^4}}=\]

Per de l’Hopital

    \[=\frac 14 \lim_{x \to 0} \frac {\frac 1 x}{\frac {-4}{x^5}}=-\frac {1}{16} \lim_{x \to 0}(x^4)=0^-.\]

 

 

 

 

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