Problema 2.3 P.N.I. 2013

Sia $f$ la funzione definita per tutti gli $x$ positivi da $f (x) = x^3 ln x$ .

Sia R la regione delimitata da $\gamma$ e dall’asse $x$ sull’intervallo aperto a sinistra ] 0, 1]. Si calcoli l’area di $R$ , illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in $mm^2$ avendo supposto l’unità di misura lineare pari a 1 decimetro.

Poichè la funzione $f$ non è definita in $x=0$ dove tuttavia c’è una discontinuità eliminabile, l’area è data da:

$A=-\lim_{x \to 0} \int_0^1 x^3lnxdx$

Il segno – si ha perchè l’integrale definito risulta negativo nell’intervallo considerato.

$A=-\lim_{x \to 0} \left[ \frac 14 x^4 ln x - \frac {1}{16}x^4 \right]_x^1$

ottenuto integrando per parti.

Poichè il $\lim_{x \to 0} \frac 14 x^4ln x=0^-$ (calcolato con de l’Hopital), si ottiene $A=\frac {1}{16}\, \, dm^2$ e quindi $A=625 \, \, mm^2$

N.B.

-) Integriamo per parti $\int x^3lnxdx$ .

Ponendo:

$f(x)=ln x \Rightarrow f'(x)=\frac 1x$
$g'(x)=x^3 \Rightarrow g(x)=\frac {x^4}{4}$

otteniamo:

$\int x^3lnxdx=\frac {x^4}{4} lnx - \int \frac {x^4}{4} \frac 1x dx=$

$=\frac {x^4}{4} lnx - \frac 14\int x^3 dx=\frac {x^4}{4} lnx - \frac 14 \frac{ x^4}{4}=$

$\frac {x^4}{4} lnx - \frac {1}{16}x^4+c$

-)

$\lim_{x \to 0} \frac 14 x^4ln x=\frac 14 \lim_{x \to 0} \frac {ln x}{\frac {1}{x^4}}=$

Per de l’Hopital

$=\frac 14 \lim_{x \to 0} \frac {\frac 1 x}{\frac {-4}{x^5}}=-\frac {1}{16} \lim_{x \to 0}(x^4)=0^-.$

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