Problema 2.1 P.N.I. 2014

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Sia f(x)=(2-x) \sqrt{4x-x^2}

A lato è disegnato il grafico \Gamma di f(x). Si dimostri che (2; 0) è centro di simmetria di \Gamma e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’angolo che la tangente in esso a \Gamma forma con la direzione positiva dell’asse x .


Risposta dello staff

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Per dimostrare che A(2; 0) è centro di simmetria per \Gamma bisognerà ricavare che la funzione con un nuovo sistema di riferimento risulti dispari. La funzione y=(2-x) \sqrt{4x-x^2} , con la traslazione di assi \begin{cases} x=X+2 \\y=Y\end{cases}, diventa:

Y=(2-X-2) \sqrt{4(X+2)-(X+2)^2}

Y=-X \sqrt{4X+8-X^2-4X-4}

Y=-X \sqrt{4-X^2}

La funzione così ottenuta è dispari, difatti f (−X ) = − f ( X ) , perciò il grafico di \Gamma risulta simmetrico rispetto al punto A(2; 0).
La derivata di y = f(x) è:

    \[f'(x)=-1 \cdot \sqrt{4x-x^2}+(2-x) \cdot \frac {(4-2x)}{2\sqrt{4x-x^2}}=- \sqrt{4x-x^2}+ \frac {(2-x)^2}{\sqrt{4x-x^2}}=\]

    \[=\frac {-4x+x^2+4-4x+x^2}{\sqrt{4x-x^2}}=\frac {2x^2-8x+4}{\sqrt{4x-x^2}}\]

L’angolo \alpha formato dalla retta tangente a \Gamma in A è tale che tg \alpha = m = f ' (2) .
Si ha che f'(2)=\frac {8-16+4}{\sqrt 4}=-2, da cui \alpha = arctg(−2) \simeq 116,565
L’ampiezza dell’angolo formato dalla retta tangente a \Gamma in A è circa 116°34′ .

 

 

 

 

 

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