Lucrezia scrive: procedimento+grafico della seguente funzione 1

Pubblicato il 8 Gennaio 2015 da Edo1 commento

$y=\frac{\left(x-1\right)^3}{x^2-4}$

Risposta dello staff

Calcoliamo il dominio:

$x^2-4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2$

Quindi:

$D= \mathbb{R} - \{ \pm2 \}$

Calcoliamo la positività:

$f(x) >0$

$\frac{\left(x-1\right)^3}{x^2-4}>0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$x-1 >0 \iff x>1$

$x^2-4 >0 \iff x<-2 \quad \lor \quad x>2$

Quindi avremo che:

$f(x) >0 \iff -2<x<1 \quad \lor \quad x>2$

$f(x)=0 \iff x=1$

$f(x) <0 \iff x<-2 \quad \lor \quad 1<x<2$

Calcoliamo i limiti negli estremi del dominio:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \pm \infty$

$\lim_{x \to -2^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{x \to -2^+} f(x)= + \infty$

$\lim_{x \to 2^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{x \to 2^+} f(x)= + infty$

Calcoliamo la derivata prima:

$f'(x)=\frac{3(x-1)^2(x^2-4)-(x-1)^3(2x)}{(x^2-4)^2}$

$f'(x)=\frac{3(x^2-2x+1)(x^2-4)-(x^3-3x^2+3x-1)(2x)}{(x^2-4)^2}$

$f'(x)=\frac{3x^4-6x^3-9x^2+24x-12-2x^4+6x^3-6x^2+2x}{(x^2-4)^2}$

$f'(x)=\frac{x^4-15x^2+26x-12}{(x^2-4)^2}$

$f'(x)=\frac{(x-1)(x^3+x^2-14x+12}{(x^2-4)^2}$

$f'(x)=\frac{(x-1)^2(x^2+2x-12}{(x^2-4)^2}$

Studiamo la positività della derivata prima:

$N_1 >0 \iff x \neq 1$

$N_2 >0 \iff x^2+2x-12 >0 \iff x< -1 - \sqrt{13} \quad \lor \quad x>-1 + \sqrt{13}$

$D>0 \iff x \neq \pm 2$

$f'(x)>0 \iff x< -1 - \sqrt{13} \quad \lor \quad x>-1 + \sqrt{13}$

$f(x)=0 \iff x= -1 - \sqrt{13} \quad \lor \quad x=-1 + \sqrt{13} \quad \lor \quad x=1$

$f'(x)<0 \iff -1 - \sqrt{13}<x<-2 \quad \lor \quad -2<x<1\quad \lor \quad 1<x<2 \quad \lor \quad 2< x<-1 + \sqrt{13}$

Non studiamo la derivata seconda per non appesantire un po’ troppo lo studio…

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