Noemi chiede: espressione con potenze con esponente razionale

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Avrei bisogno di capire come si risolve questa espressione con potenze con esponente razionale:
\frac {(2^{\frac 13}+3^{-\frac 13})}{(3^{-1}+2^{-\frac 2 3})} \, \cdot \, \frac{6^{-1}}{(1+6^{-\frac 13})} (3+2^{\frac 23})
Grazie mille in anticipo 🙂

Bisogna innanzitutto trasformare tutte le potenze per rendere più facili i calcoli, ricordando che:

2^{\frac 13}= \sqrt[3] 2

3^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]3}=\frac {\sqrt[3]{3^2}}{3}

3^{-1}= \frac 13

2^{-\frac 2 3}=\frac {1}{ \sqrt[3] {2^2}}=\frac {\sqrt[3]2}{2}

6^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]6}=\frac {\sqrt[3]{6^2}}{6}

2^{\frac 23}= \sqrt[3] {2^2}=\sqrt[3] 4

Da qui avremo:

\frac {\sqrt[3]2+\frac {1}{\sqrt[3]3}}{\frac 13 + \frac {1}{\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{1+\frac {1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3}}{\frac {\sqrt[3]4+3}{3\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3} \cdot \frac {3\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4+3} \cdot \frac 16 \cdot \frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]6+1} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

Semplificando i fattori simili e ricordando che:

\frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]3}=\sqrt[3]2,

avremo:

=\frac {3\sqrt[3]8}{6}=\frac {2}{2}=1.

 

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