Equazione riducibile 2

Alessandro chiede la soluzione del seguente esercizio

$4sen^2x+3tg^2x=12$

Per svolgere questa equazione bisognerà prima eseguire la trasformazione:

$tg x = \frac {senx}{cosx}$

Da questa otteniamo l’equazione:

$4sen^2x + \frac {3sen^2x}{cos^2x}=12$

Troviamo il minimo comune multiplo, imponendo la condizione che:

$cosx \neq 0$ ,

ottenendo:

$4sen^2xcos^2x + 3sen^2x-12cos^2x=0$

Sapendo che:

$sen^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sen^2x$ , otterremo:

$4sen^2x(1-sen^2x) + 3sen^2x-12(1-sen^2x)=0$

$4sen^2x-4sen^4x + 3sen^2x-12+12sen^2x=0$

$4sen^4x - 19sen^2x+12=0$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {361-192}}{8}$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {169}}{8}$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm 13}{8}$

$sen^2x_1=\frac {19- 13}{8}=\frac 34$

$sen^2x_2=\frac {19+ 13}{8}= 4$

IMPOSSIBILE perchè $0 \leq sen^2x \leq 1$

Risolvendo la prima, avremo quindi:

$senx= \pm \frac {\sqrt 3}{2} \Rightarrow x=60^\circ+k180^\circ \quad \lor \quad x=120^\circ+k180^\circ$ .

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