Equazione riducibile 1

Alessandro chiede la soluzione del seguente esercizio

$cos^2x + \frac {2}{tg^2x}-\frac 52=0$

Per svolgere questa equazione bisognerà prima eseguire la trasformazione:

$tg x = \frac {senx}{cosx}$

Da questa otteniamo l’equazione:

$cos^2x + \frac {2cos^2x}{sen^2x}-\frac 52=0$

Troviamo il minimo comune multiplo, imponendo la condizione che:

$senx \neq 0$ ,

ottenendo:

$2cos^2xsen^2x+4cos^2x-5sen^2x=0$

Sapendo che:

$sen^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sen^2x$ ,

otterremo:

$2sen^2x(1-sen^2x)-5sen^2x+4(1-sen^2x)=0$

$-2sen^4x+2sen^2x-5sen^2x+4-4sen^2x=0$

$2sen^4x+7sen^2x-4=0$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm \sqrt {49+32}}{4}$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm \sqrt {81}}{4}$

$sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm 9}{4}$

$sen^2x_1=\frac {-7- 9}{4}=-4$

IMPOSSIBILE perchè $sen^2x \geq 0$

$sen^2x_2=\frac {-7+ 9}{4}=\frac 12$

Risolvendo la seconda, avremo quindi:

$senx= \pm \frac {\sqrt 2}{2} \Rightarrow x=45^\circ+k90^\circ$ .

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