Erica scrive: Esercizio integrale

Oggetto: soluzione di esercizio

Corpo del messaggio:
ciao vorrei sapere come si svolge questo esercizio:integrale xarctgx fratto la radice 1+x^2 ciao grszie

$\int \frac {xarctgx}{\sqrt {1+x^2}} \, dx$

Risolviamolo per parti, ricordando la formula:

$\int f'(x) g(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \, dx$

Poniamo:

$f'(x)= \frac {x}{\sqrt {1+x^2}} \Rightarrow f(x) =\sqrt {1+x^2}$

$g(x)=arctg x \Rightarrow g'(x) =\frac{1} {1+x^2}$ .

$\int \frac {xarctgx}{\sqrt {1+x^2}} \, dx=$

$\sqrt {1+x^2}arctg x -\int \frac {\sqrt {1+x^2}}{1+x^2} \, dx=$

$\sqrt {1+x^2}arctg x -\int \frac {1}{\sqrt {1+x^2}} \, dx=$

Quest’ultimo è un integrale immediato sfruttando le funzioni iperboliche:

$\sqrt {1+x^2}arctg x -arcsSh x +c$ .

Altrimenti sarebbe:

$\sqrt {1+x^2}arctg x -log(x+\sqrt{1+x^2})+c$ ,

facendo un po’ di calcoli in più…

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