Nicola scrive: Esercizio integrale fratto

Corpo del messaggio:
ciao questo e l’esercizio: integrale di dx fratto la radice di e ^2x+2e^x .
mandami la soluzione alla mia email.

$\int \frac {dx}{e^{2x}+2e^x}$

Imponiamo la sostituzione:

$e^x=t$

$e^x \, dx = dt$

$dx= \frac {dt}{t}$

Sostituendo nell’integrale iniziale otteniamo:

$\int \frac {\frac {dt}{t}}{t^2+2t}=$

$\int \frac {dt}{t^2(t+2)}$

Utilizziamo il criterio di integrazione per le funzioni razionali:

$\frac {1}{t^2(t+2)}=\frac {At+B}{t^2}+ \frac {C}{t+2}=\frac {At^2+2At+Bt+2B+Ct^2}{t^2(t+2)}=\frac {t^2(A+C)+t(2A+B)+2B}{t^2(t+2)}$

$\begin{cases} A+C=0 \\ 2A+B = 0 \\ 2B=1\end{cases}$

$\begin{cases} C=\frac 14 \\ A = -\frac 14 \\ B= \frac 12\end{cases}$ .

Quindi l’integrale diventerà:

$\int \frac {-\frac 14 t + \frac 12}{t^2} \, dt + \int \frac {\frac 14}{t+2} \, dt=$

$\int \frac {-t+2}{4t^2} \, dt +\frac 14 \int \frac { 1}{t+2} \, dt=$

$-\int \frac {t}{4t^2} \, dt+\int \frac {2}{4t^2} \, dt +\frac 14 log(t+2)=$

$-\frac 14\int \frac {1}{t} \, dt+\frac 12 \int \frac {1}{t^2} \, dt +\frac 14 log(t+2)=$

$-\frac 14 log(t) -\frac 12 \frac {1}{t} +\frac 14 log(t+2) +c$

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